Фамилия Варнавин образована от имени или прозвища Варнава, и у этой основы есть несколько версий происхождения, которые стоит разобрать по порядку.

Самая прямая и распространённая версия — от крестильного имени Варнава. Это имя арамейского происхождения, в переводе означающее «сын пророка» или «сын утешения». В православных святцах оно известно по апостолу Варнаве, сподвижнику апостола Павла. Фамилии на -ин в русской традиции чаще всего образуются от имён и прозвищ, оканчивающихся на -а или -я (Варнава → Варнавин, как Кузьма → Кузьмин, Фома → Фомин). Так что модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ин указывает на принадлежность («сын Варнавы»).

Вторая версия отталкивается от прозвища Варнава, которое могло сложиться независимо от церковного имени. Здесь возможна связь с украинским глаголом «варнякати» — болтать, говорить несуразное, плести пустое. Если такое прозвище закрепилось за человеком, оно указывало на особенность речи: говорливый, путаный рассказчик или, наоборот, тот, кто говорит невнятно. Это бытовое, а не книжное происхождение, и в южнорусских и украинских говорах такая основа вполне реальна.

Третья гипотеза — от слова «варнак», то есть каторжник, беглый ссыльный. В сибирских говорах «варнак» означало не просто преступника, а человека, оторванного от общества, часто с оттенком бродяжничества. Переход «варнак» → Варнава → Варнавин возможен, но менее вероятен, чем две первые версии: имя Варнава было в ходу у духовенства и крестьян, а прозвище от «варнякать» встречалось в бытовой среде. Связь с «варнаком» притянута за уши, если нет документальных подтверждений, что предок носителя фамилии был ссыльным.

Географически фамилия Варнавин чаще встречается в центральных и северных областях России, а также в Поволжье — там, где имя Варнава было распространено среди крестьян и мещан. В дворянских родах она не отмечена, это фамилия преимущественно непривилегированных сословий. В ономастических справочниках (например, у Б. Унбегауна) Варнавин не выделяется как редкая аномалия — это рядовая фамилия от канонического имени, каких тысячи.

Итог: скорее всего, ваш предок носил имя Варнава, данное при крещении, и фамилия просто фиксирует отчество. Версия с «варняканьем» — любопытная альтернатива, но она уступает основной по частоте встречаемости в реальных документах.