Фамилию Варнавской стоит разбирать, держа в уме её женскую форму. В современном русском бытовании это вариант фамилии Варнавский (или Варнавская), образованный по модели притяжательных прилагательных на -ский/-цкий, которые в XV–XVII веках чаще всего указывали на географическое происхождение человека или его принадлежность к местности.

Основа здесь — топоним Варнава. Самых известных два: город Варнава в Болгарии (названный по имени святого) и село Варнавино в бывшей Костромской губернии (ныне Нижегородская область). Варнавино получило имя от Варнавы Ветлужского, местного святого XIV века. В этом случае фамилия Варнавский — классический пример «географической» фамилии, которую давали переселенцам: «пришлый из Варнавы» или «из Варнавина». Носитель фамилии Варнавской — женщина, чьи предки, скорее всего, были выходцами из этих мест.

Менее вероятна, но возможна версия от крестильного имени Варнава. В святцах это имя апостола из семидесяти, в переводе с арамейского — «сын утешения». В русской традиции имя было нечастым, но встречалось в крестьянской и купеческой среде. От него образовывали фамилии через суффикс -ин (Варнавин) или -ский (Варнавский). Суффикс -ский в таком случае указывал бы не на происхождение от конкретного человека по имени Варнава, а на более отвлечённую связь: «относящийся к Варнаве» или «помещик, владевший землёй, где жил Варнава».

Ударение в фамилии, как правило, падает на второй слог: Варна́вской. Это отличает её от болгарского города Варна, где ударение на первый слог, и подтверждает связь с русским ойконимом Варнавино или с именем Варнава.

Интересная деталь: фамилия Варнавский/Варнавская встречается преимущественно в центральных и северных областях России — Костромской, Вологодской, Нижегородской, а также в Сибири, куда переселенцы с Ветлуги уходили в XIX веке. Это сужает круг поиска предков: если вы носите эту фамилию, стоит искать корни в Заволжье, в районе реки Ветлуги.