Фамилия Варнавскя — редкий случай, когда географическое имя «застыло» в форме, нехарактерной для литературного русского языка. Сразу бросается в глаза окончание -скя, а не привычное -ская. В русской ономастике суффикс -ск(ий) / -ск(ая) — классический признак фамилий, образованных от названий мест (сел, городов, усадеб). Но форма Варнавскя — это не опечатка и не искажение. Это живая диалектная или просторечная черта, характерная для некоторых регионов, особенно для южнорусских и украинских говоров, где окончание -ая в прилагательных стягивается в -а: «молодая» звучит как «молода», «Варнавская» — как «Варнавска». А под влиянием мягкого произношения (смягчение «к») и возникло написание через «я» на конце: Варнавскя.

Основа фамилии — Варнав-. Сразу приходит на ум имя Варнава, восходящее к арамейскому «барнава» — «сын утешения» или «сын пророка». В библейской традиции Варнава — один из апостолов от семидесяти, спутник Павла. В русском быту имя было не слишком распространённым, но встречалось, особенно в среде духовенства и старообрядцев. От него образованы фамилии Варнавин, Варнавский, Варнавцов. Варнавскя — это, скорее всего, «стянутый» вариант фамилии Варнавская, то есть «относящийся к Варнаве» или «происходящий из села Варнавино». Такое село есть в Нижегородской области, и его название — от имени Варнава. Житель этого села или выходец оттуда мог получить прозвище Варнавский, а в местном говоре оно превратилось в Варнавскя.

Есть и другая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «варнак» — бродяга, каторжник (слово заимствовано из тюркских языков). Если бы фамилия звучала как Варнаков или Варнацкий, корень «варнак» был бы основным. Но суффикс -ск- указывает на топонимическое происхождение, а не на прозвище от личного качества. Поэтому версия с именем Варнава и географической привязкой выглядит убедительнее.

Таким образом, носитель фамилии Варнавскя — потомок человека, которого звали Варнава, или выходца из местности с корнем Варнав-. Сама же фамилия — яркий диалектный след, сохранивший произносительную норму тех мест, где окончание -ая не прижилось. Встретить её можно скорее на юге России, в Белгородской, Воронежской областях или в среде переселенцев из этих краёв.