Фамилия Ведмицкий — редкий случай, когда написание почти наверняка ошибочное, а корень ведёт к медведю. В русской ономастике нормативной считается форма Ведмицкий, а вариант с двумя «и» на конце (Ведмицкии) — результат искажения при записи, скорее всего, в паспортном столе или при цифровой регистрации. Окончание -ий в фамилиях на -цкий стандартно, двойное «и» могло появиться из-за путаницы с украинской или белорусской графикой, где иногда пишут -ийи, или из-за неверного прочтения рукописи.

Основа фамилии — устаревшее или диалектное слово «ведмица» (медведица). В говорах западных и южных областей России, а также в украинском и белорусском языках «ведмідь», «вядмедзь» — медведь. Суффикс -цк- (в форме -ский) указывает на принадлежность к местности или роду. То есть Ведмицкий — это либо «житель Медведицы» (населённого пункта с таким названием), либо потомок человека по прозвищу Ведмица. Прозвище могли дать охотнику на медведей, человеку с медвежьей силой или неуклюжестью.

Географически фамилия тяготеет к бывшим территориям Речи Посполитой — западной части современной Беларуси, Украине, востоку Польши. Там встречаются топонимы Ведмежье, Ведмицкое, а также однокоренные фамилии Ведмидь, Ведмеденко, Ведмецкий. В России фамилия редкая, встречается в основном у потомков переселенцев из этих регионов.

По словообразовательной модели Ведмицкий схожа с фамилиями вроде Зайцевский или Волковский — от названия животного с добавлением шляхетского суффикса -ский, который в XVI–XVII веках активно перенимали крестьяне и мещане, подражая дворянской моде. Так что предки носителя фамилии могли быть незнатными людьми, получившими фамилию по прозвищу или месту жительства, а не по поместью.

Если вы ищете именно вариант «Ведмицкии» — при генеалогическом поиске стоит проверять обе формы: Ведмицкий и Ведмицкии. В дореволюционных метриках и ревизских сказках фамилия могла записываться через «ѣ» (Ведмицкій), а в советских документах — уже с ошибками.