Фамилия Велижев — довольно редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от фамилий, образованных от распространённых крестильных имён (Иванов, Петров), её основа требует разбора. Скорее всего, в её корне лежит не имя, а прозвище или географическое название.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с названием города Велиж в Смоленской области. Житель этого города или выходец оттуда мог получить прозвище Велиж, а его потомки стали Велижевыми. Суффикс -ев указывает на принадлежность (чей? — Велижев, то есть сын человека по прозвищу Велиж). Географические фамилии такого типа характерны для северо-запада и запада России, где много топонимов на -ж. Если предки были из Велижа, то они могли быть мещанами, купцами или крестьянами, переселившимися в другие края.

Вторая версия — от прозвища Велиж, которое могло иметь значение «величавый», «важный», «большой». В русских говорах слово «велиж» иногда употреблялось в значении «великан» или «рослый человек». Такое прозвище могли дать за высокий рост или степенную осанку. В этом случае фамилия относится к группе «характеристических» прозвищ, которые описывали внешность или манеру поведения.

Менее вероятна связь с древнерусским именем Велимир или его сокращённой формой — такие имена были редки и обычно оставляли фамилии с суффиксом -ов (Велимиров). Суффикс -ев в фамилии Велижев указывает на основу, оканчивающуюся на мягкий согласный или шипящий (ж), что хорошо согласуется и с топонимом, и с прозвищем.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По данным открытых источников, Велижевы живут в основном в центральной России и Поволжье, что может говорить о миграции из Смоленской губернии в XVIII–XIX веках. Сословная принадлежность, скорее всего, была крестьянской или мещанской — дворянских родов с такой фамилией в исторических документах не зафиксировано.

Таким образом, если вы носите фамилию Велижев, ваши предки, вероятнее всего, либо жители древнего города Велиж, либо человек, получивший прозвище за свою стать и рост. Обе версии уходят корнями в бытовую жизнь русских земель, без связи с иностранными языками или аристократией.