Фамилия Вереютина в своей основе содержит редкий диалектный корень, который сразу выводит нас на северные говоры. В отличие от более распространённых фамилий на -ов/-ев, здесь работает суффикс -ин, указывающий на принадлежность: Вереюта — «чей?» — Вереютин. Основа, скорее всего, происходит от слова «верея» или «вереюшка». В архангельских, вологодских и вятских говорах так называли столб ворот, на который навешивают полотнище, или вообще любую опору, вертлюг. Человек мог получить прозвище Вереюта за высокий рост и худощавость (как столб) или за профессию — плотника, ставившего ворота и заборы.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с рекой Верея или городом Верея под Москвой. Однако суффикс -юта (а не -еец или -ский) типичен именно для прозвищ, а не для топонимических фамилий. В ономастике форма на -юта часто встречается в севернорусских и сибирских фамилиях, образованных от глагольных или предметных основ: например, Верещага, Верюта. Фамилия Вереютин встречается преимущественно в Кировской области, Пермском крае и на Урале — регионах, куда в XVII–XVIII веках переселялись крестьяне с Русского Севера.

Социально фамилия недворянская: она не фиксируется в родословных книгах, а значит, предки были крестьянами или посадскими людьми. В переписях XVIII–XIX веков Вереютины могли записываться как «черносошные» (государственные) крестьяне, занимавшиеся земледелием, лесными промыслами или плотницким делом. Интересно, что в некоторых говорах «вереей» называли также деревянную задвижку у печи или ворота, что снова отсылает к бытовому ремеслу.

Сравните с однокоренными фамилиями: Вереин, Верейкин, Верёвкин — все они построены по одной модели, но Вереютин стоит особняком из-за редкого суффикса. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходят из среды северных русских крестьян-плотников или землепашцев, а само прозвище было дано по характерной внешности или занятию.