Фамилия Верстукова — женская форма от Верстуков, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Модель на -ов/-ев здесь стандартная: она указывает на принадлежность «чей?» — сын или потомок человека по имени или прозвищу Верстук. Но сама основа «верстук» — нечастая, и именно она задаёт направление поиска.

Верстук — это, скорее всего, прозвище, образованное от слова «верста». В старорусском языке «верста» означала не только меру длины (примерно 1,06 км), но и «ровесника», «однолетку»: «мы с ним одной версты» — то есть одного возраста. Прозвище Верстук могли дать человеку, который был под стать другому, равным по годам или положению. Менее вероятно, но возможно, что прозвище связано с дорожной верстой — верстовым столбом: так могли назвать высокого, прямого человека или того, кто жил у столба на тракте.

Словообразовательный суффикс -ук (как в Бортник → Бортнюк, Кузнец → Кузнецук) характерен для украинских, белорусских и южнорусских говоров. В русском ономастиконе фамилии с таким окончанием — Верстук, Верстуков — часто указывают на западнорусское происхождение предка. Географически фамилия Верстукова встречается в основном в центральных и южных областях России, а также на Украине, что подтверждает связь с диалектной зоной.

В словарях Б. Унбегауна или В. Никонова фамилия Верстуков не выделяется в отдельную статью, но по аналогии с однокоренными — Верстов, Верстюк — её относят к прозвищным, возникшим не от имени, а от бытового слова. Спорных версий немного: иногда пытаются связать с глаголом «верстать» (работать, подгонять), но это даёт натяжку, так как «верстук» — не профессия, а скорее характеристика.

Таким образом, предок Верстуковых мог получить прозвище по возрасту или внешности, и жил он, вероятно, на землях, где говорили на южнорусском или украинском наречии. Фамилия не дворянская и не редкая до вымирания, но и не массовая — её носители встречаются в документах XIX–XX веков в Тульской, Курской и Харьковской губерниях.