Фамилия Вертягина — женская форма фамилии Вертягин. Её основа — прозвище или мирское имя Вертяга. В русском языке суффикс -яг- (-аг-) образовывал прозвища от глаголов и прилагательных, нередко с оттенком насмешки или характеристики поведения. Сравните: Вертяга — от «вертеться», то есть человек непоседливый, суетливый, юркий, либо тот, кто постоянно «вертится» на виду, ищет выгоду. В говорах слово «вертяга» могло означать и «вертлявый», и «изворотливый», и даже «ветреный» человек.

Модель образования простая: основа Вертяг- + патронимический суффикс -ин, указывающий на принадлежность: «чей сын?» — Вертягин, то есть сын Вертяги. Такие фамилии на -ин типичны для северных и центральных областей России, где активно использовали прозвища на -ага/-яга: Гуляга, Бродяга, Рычага. Фамилия Вертягин — не самая частая, но и не уникальная: она встречается в Вологодской, Кировской, Костромской областях, что косвенно подтверждает её севернорусское происхождение.

Интересная деталь: в дореволюционных метрических книгах фамилию могли записывать как Вертягинъ, а в народе — с ударением на второй слог (Вертя́гин), что отличает её от возможного варианта Вёртягин (от «верткий»). Если бы основа была от слова «верткий», суффикс был бы -к-ин (Верткий — Вертк-ин), а здесь именно -яг-, что подчёркивает динамичный, даже слегка ироничный характер прозвища.

Сословно: судя по географии и модели, Вертягины — скорее всего, из крестьян или посадских людей. Фамилия не дворянская, не искусственная (вроде семинарских), а бытовая, уличная. В некоторых переписях XVII–XVIII веков встречаются крестьяне с прозвищем Вертяга в Архангельском и Вятском уездах — именно там закрепилась фамилия.

Так что если вы Вертягина, ваши предки, скорее всего, были людьми живыми, деятельными, не сидевшими на месте, — прозвище Вертяга давали не случайно.