Фамилия Высоцкийй — с двойной «й» на конце — почти наверняка возникла из-за ошибки в паспортном столе или при записи в документе. Классическая и единственно верная форма — Высоцкий, с одной «й». В русской ономастике суффикс -цк- (в виде -ский/-цкий) указывает на происхождение от географического названия: села, города или местности. Основой послужило прилагательное «высокий», то есть предок получил фамилию по названию поселения Высокое или Высоцк — таких на карте России, Украины и Беларуси десятки. Человек из Высокого становился Высоцким, то есть «высокским».

Модель образования типична для шляхетских и дворянских фамилий Речи Посполитой, откуда она широко разошлась по восточнославянским землям. В XVII–XVIII веках так могли записать крестьянина, переселившегося из деревни Высокое в другое место, или мещанина, получившего прозвище по месту жительства. Суффикс -цкий не обязательно говорит о знатности: в Российской империи эту форму активно присваивали духовенству и даже однодворцам.

Спорных версий немного. Иногда Высоцкого связывают с прозвищем Высокий, данным рослому человеку, но тогда фамилия имела бы вид Высоков или Высочин. Суффикс -цкий жёстко привязан к топониму, поэтому версия про рост — натянутая. Более правдоподобно, что предок жил в селе Высоцкое, коих особенно много на Смоленщине и в бывших польских воеводствах.

Двойная «й» в конце — графический курьёз, не меняющий ни значения, ни происхождения. В паспортах и базах данных такая запись встречается, но этимологически она бессмысленна: русский язык не допускает удвоения этого суффикса. Если вы встретили именно такой вариант, скорее всего, перед вами описка, закрепившаяся из-за человеческого фактора при оформлении документов в XX веке.