Фамилия Загранишний — один из тех случаев, когда географическое прозвище стало фамилией почти без изменений. Её основа — слово «заграница» или «заграничный». Человек, которого так прозвали, скорее всего, либо родился за рубежом, либо долго там жил, либо часто ездил за границу по торговым или иным делам. В крестьянской среде, где большинство никогда не покидало родной губернии, такой человек сразу выделялся — его и «записывали» по этой примете.

Обратите внимание на суффикс. В русских фамилиях распространены модели на -ов/-ев, -ин, -ский. Здесь же мы видим формант -ий, характерный для прилагательных. Фамилия Загранишний — это по сути застывшая форма притяжательного или относительного прилагательного: «чей?» — загранишний, то есть «тот, кто из-за границы». Такая модель встречается реже, чем патронимические суффиксы, и часто указывает на южнорусское или украинское происхождение. В украинском языке суффикс -шн- (как в «загранишний») вполне обычен, тогда как в литературном русском чаще говорят «заграничный» с -чн-. Поэтому можно предположить, что фамилия сложилась в говорах, где «ш» вытеснило «ч» — например, в курских, воронежских или харьковских землях.

Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Загра́нишний. В разговорной речи фамилию могли произносить и как Заграни́шний, с ударением на «и», но первый вариант ближе к исходному прилагательному. На письме встречается также вариант Заграничный — это уже полностью русифицированная форма. Загранишний сохранил более архаичный, диалектный оттенок.

Социальный состав носителей, вероятно, был смешанным. Среди крестьян и мещан такое прозвище давали тем, кто побывал за границей (например, отходники, работавшие в европейских городах). В купеческой среде — тем, кто вёл зарубежную торговлю. В дворянских родах фамилия не зафиксирована — слишком «говорящая» и бытовая для аристократии.

Географически фамилия Загранишний встречается редко, в основном на юге России и в Украине. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит поискать их в метрических книгах Харьковской, Курской или Полтавской губерний — там вероятность найти корни выше всего.