Фамилия Загреова — женская форма, а её мужской вариант — Загреов. Это редкая русская фамилия, образованная по самой распространённой модели: от основы прозвища или имени с помощью суффикса -ов. В данном случае суффикс присоединился к основе Загре-, которая, скорее всего, восходит к глаголу «загребать».

Самый прямой путь происхождения — прозвище Загреба. Так в старину могли назвать человека жадного, прибиравшего к рукам чужое добро, либо, наоборот, работящего, который «загребает» много, то есть активно трудится. В говорах слово «загреба» означало и «скупой», и «деятельный» — контекст зависел от отношения окружающих. Прозвище давали по поведению, и оно легко переходило в фамилию без изменений основы: Загреба → сын Загребова → со временем Загреов.

Вторая версия менее вероятна, но не исключена: связь с названием реки Загреб (в России есть несколько мелких речек с таким именем) или с южнославянским топонимом Загреб (столица Хорватии). В этом случае фамилия указывала бы на выходца с берегов такой реки или из города. Однако для русского ономастикона это нетипично: фамилии от названий городов обычно оформляются суффиксами -ский/-цкий (Загребский), а не -ов.

Обратите внимание на редкость фамилии. В современных базах данных Загреовы встречаются единично, в основном на юге России и в Поволжье. Это говорит о том, что фамилия могла возникнуть в одной локальной группе или даже от одного прозвища, которое не дало массовых ответвлений. По сословной принадлежности предки могли быть как крестьянами, так и казаками — прозвищные фамилии не были закреплены за одним классом.

В написании возможна путаница с фамилией Загряев (от имени Загрей, греческого происхождения), но корни разные: Загреов — от загребать, Загряев — от личного имени.