Фамилия Загриева — женская форма, мужской вариант — Загриев. В основе лежит прозвище или личное имя Загрий, которое, скорее всего, имеет тюркские корни. Модель образования простая: суффикс -ев (фонетический вариант -ов) присоединился к основе на -ий, что типично для русских фамилий, возникших в среде, где тюркские имена были распространены.

Вероятнее всего, имя Загрий восходит к тюркскому слову «загр» или близким корням, означающим «гневный», «суровый», «яростный» (ср. в некоторых тюркских языках «загр» — гнев). В таком случае прозвище Загрий давали человеку с крутым нравом, вспыльчивому или суровому. Менее убедительна, но возможна связь с арабским именем Захир (победитель, блистательный) через искажённое произношение в тюркской среде, но для этого нет прямых лингвистических подтверждений.

Географически фамилия редкая. Самый известный ареал — Кавказ, особенно Дагестан и Чечня, где встречаются носители среди кумыков, чеченцев и других народов. В русских документах фамилия могла фиксироваться с XVII–XVIII веков, когда представители горских народов попадали в реестры казачьих войск или получали русские фамилии по отцу. В центральной России Загриевы почти не встречаются, что делает фамилию маркером определённого региона.

Обратите внимание на написание: в мужском варианте — Загриев, не Загреев. Это указывает на то, что основа не была переоформлена под привычное «-еев», а сохранила исходное «-иев», что говорит о сравнительно поздней фиксации фамилии в письменных источниках (уже после того, как русская орфография устоялась). В некоторых документах XIX века встречается вариант Загрий (без суффикса), но он почти исчез.

Если ваши предки — Загриевы, ищите корни на Северном Кавказе, в среде тюркоязычных народов. Фамилия не дворянская и не крестьянская в классическом русском смысле — она возникла как патроним от прозвища, которое закрепилось за родом, вероятно, вольных горцев или казаков.