Фамилия Заиграйкина — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия, а глагол в повелительном наклонении. Такие фамилии (Заиграй, Заиграйкин) лингвисты называют «императивными»: их образовали от прозвища-приказа, которое давали человеку за характер или привычку.

Корень здесь — «заиграй», то есть «начни играть». В русских говорах XIX века «заиграть» могло означать не только начать игру, но и «заиграться, увлечься», а в некоторых областях — «заискивать, угождать». Прозвище Заиграйка, скорее всего, получил весельчак, балагур или тот, кто постоянно заводил песни и пляски на гуляньях. Реже — человек, который «играл» на публику, то есть льстил или притворялся.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Заиграйкин — «сын Заиграйки» или «из рода Заиграйкиных». Такая модель типична для прозвищ, оканчивающихся на -а/-я. В отличие от фамилий на -ов (Заиграев), форма с -ин встречается реже и чаще привязана к северным и центральным губерниям России.

Географически фамилия Заиграйкина (и мужской вариант Заиграйкин) фиксируется в основном в Поволжье — в Ульяновской, Самарской, Нижегородской областях. Это не случайно: именно там в XVIII–XIX веках были распространены неканонические прозвища, которые потом закреплялись в качестве фамилий у крестьян и мещан.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Играйкин, Наиграйкин — подтверждает, что основа не имеет отношения к музыке или театру в профессиональном смысле. Это бытовое прозвище, данное за манеру поведения, а не за ремесло. В дворянских или купеческих родах такая фамилия не встречается — её носителями были простые люди, чаще крестьяне.

Если ваши предки носили фамилию Заиграйкина, они, вероятно, происходили из среды, где ценили живость нрава и общительность. Сама фамилия — не про игру как занятие, а про характер: человека, который не давал скучать окружающим.