Фамилия Замша — редкий случай, когда прозвище и фамилия совпали по звучанию и не обрастали типичными суффиксами. Она так и осталась в чистой, «голой» форме, без окончаний -ов или -ин. Это указывает на украинское или белорусское происхождение: в этих землях фамилии часто фиксировали без изменений, просто перенося прозвище в документы.

Прозвище Замша образовано от названия кожи — мягкой, бархатистой выделки из оленьих, лосиных или сайгачьих шкур. Отсюда первая и самая прямая версия: основатель рода был скорняком, который специализировался именно на выделке замши. Такое ремесло ценилось — замшевая кожа шла на дорогую обувь, перчатки и детали одежды, не пропускала влагу и была пластичной.

Есть и вторая, менее очевидная версия, связанная с глаголом «замшить» — проконопатить, проложить мхом пазы между брёвнами сруба. В северных и лесных регионах это был обязательный этап строительства избы. Если человек хорошо владел этим делом, его могли прозвать Замшей по работе. Версия правдоподобна, но уступает первой: прозвища по строительным операциям реже становились фамилиями, чем прозвища по ремеслу, связанному с материалом.

Слово «замша» пришло в русский язык из польского (zamsz), а туда — из немецкого (Sämischleder). Фамилия Замша могла возникнуть в западных губерниях или на землях Речи Посполитой, где польское влияние было сильным. В современных русских фамилиях этот корень встречается нечасто — Замша стоит в ряду редких профессиональных прозвищ, сохранивших исходную форму без адаптации.