Вероятно, фамилия Запащиков — вариант фамилии Запайщиков. Она образована от прозвища Запайщик. Скорее всего, оно относится к так называемым «профессиональным» именованиям, содержащим указание на род занятий человека: так называли того, кто что-либо паял. Согласная «й» со временем выпала, что было связана с историческими процессами, происходившими в ходе развития языка. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Запайщик, со временем получил фамилию Запащиков.