Фамилия Затеева — это не самостоятельное образование, а фонетический вариант более распространённой фамилии Зотеева. Разница в первой букве (А вместо О) возникла из-за «акающего» произношения, свойственного южнорусским и среднерусским говорам: в безударной позиции звук [о] перешёл в [а], а на письме это закрепилось. Поэтому корень у обеих фамилий общий — имя Зотей.

Зотей, в свою очередь, — это производная форма от полного имени Зотик. Имя Зотик пришло на Русь из греческого языка, где zotikos означало «дающий жизнь, животворный». Однако славянское ухо восприняло окончание -ик как уменьшительный суффикс (как в словах «котик», «ножик»). Стремясь восстановить «полную», «взрослую» форму, люди переделали Зотика в Зота. От этого Зота и пошли многочисленные фамилии — Зотов, Зотеев, а через аканье и Затеев.

Судя по модели образования (суффикс -ев, характерный для нецерковных имён и прозвищ), основатель рода Затеевых был человеком из простого сословия. В дворянской среде такие фамилии практически не встречались: именитые роды чаще образовывали фамилии от полных канонических форм (например, Зотиков). А вот крестьяне и посадские люди свободно использовали обиходные, усечённые варианты имён.

Таким образом, фамилия Затеева буквально означает «принадлежащая потомку Зотея (или Зота)».