Фамилия Завадзкая — это женская форма фамилии Завадзкий, которая имеет отчетливые польские или белорусские корни. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ев или -ин, модель на -ский/-цкий указывает на происхождение от географического названия, чаще всего от названия населенного пункта. Основа «Завад-» восходит к польскому слову «zawada» — «препятствие, помеха, затор». В топонимике так могли назвать село, расположенное за бродом, завалом или другим естественным препятствием. Соответственно, Завадзкий — это тот, кто родом из места с названием Завада или Завадзе.

В польской ономастике фамилия Zawadzki (и ее вариант Zawadzka для женщин) — одна из распространенных. В русском языке, особенно в западных губерниях, где жило много поляков и белорусов, фамилия закрепилась в русифицированной форме: Завадский. Однако написание через «дз» (Завадзкий, Завадзкая) выдает более архаичный или диалектный вариант передачи польского звука «dz» (аффриката, похожая на русское «дз» в слове «дзюдо»). Такое написание встречается реже и может указывать на то, что предки носителя фамилии сохраняли польское произношение или запись фамилии в метриках была сделана до унификации русского правописания.

Суффикс -ск- в этой фамилии — типичный для шляхетских фамилий Речи Посполитой. В XV–XVII веках землевладельцы часто брали фамилии по названиям своих имений, добавляя этот суффикс. Поэтому предки Завадзких, скорее всего, были мелкими или средними дворянами (шляхтой) либо крестьянами, переселенными из деревни Завады. Социальный статус мог быть разным: от владельца фольварка до крепостного, приписанного к этому селу.

В русском контексте фамилия Завадзкая — редкая. Чаще встречается вариант Завадская (с одной «з»). Если вы встретили именно такое написание, это может быть свидетельством того, что предки долгое время жили на территории современной Беларуси или восточной Польши, где сохранялась традиция польской орфографии. Никакой другой, более древней, славянской или тюркской этимологии у этой фамилии нет — всё упирается в польское слово «zawada» и топонимы, от него образованные.