Фамилия Заварыко — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с характером или поведением человека, а не с ремеслом или местом жительства. Корень здесь — «завар-», от глагола «заварить». В прямом смысле это приготовление кипятка или пищи, но в переносном, разговорном, «заварить кашу» означало затеять хлопотное, сложное или скандальное дело. Прозвище Завара или Заварыка могли дать зачинщику ссор, неуёмному спорщику или человеку, который постоянно «заваривал» проблемы, создавал суету.

Украинский суффикс «-ык-» (в русской передаче «-ык-» или «-ик-») в фамилиях часто указывает на принадлежность или прозвищную основу. Форма Заварыко — это ещё и «уменьшительно-ласкательный» вариант: не просто Завара, а «тот самый Завара». Такая модель типична для западноукраинских и южнорусских говоров. Фамилия оканчивается на «-ко», что характерно для украинской ономастики (сравните: Шевченко, Коваленко, Заварыко). Это не суффикс, а усечённая форма, закрепившаяся как фамильное окончание.

Встречается фамилия преимущественно на западе Украины — в Ивано-Франковской, Львовской, Тернопольской областях, а также среди потомков переселенцев в Краснодарском крае и Сибири. Сословно носители, скорее всего, происходили из казаков или крестьян: прозвища такого типа редко давали знати, зато в среде, где ценились прямота и склонность к спорам, меткое слово закреплялось легко.

Альтернативная версия связывает фамилию с профессией пивовара или человека, заваривающего брагу. Однако для ремесленника логичнее было бы прозвище Заварник или Заварщик, а Заварыко — именно характеристика личности. Поэтому версия с «заваривателем каши» выглядит убедительнее. Фамилия не относится к числу массовых, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска: круг предков будет узким, а история — конкретной.