Фамилия Заведий — редкая и звучит необычно для русского уха. Её происхождение, скорее всего, связано не с географическим названием или профессией, а с личным прозвищем, которое закрепилось за основателем рода.

В основе фамилии лежит глагол «заведать» в значении «заведовать, управлять, распоряжаться». В старину «заведием» или «заведом» могли назвать человека, который вёл хозяйство, был главным распорядителем в доме или на промысле. Такое прозвище давали не просто так, а по реальной роли в общине или семье — например, старшему в роду, который «заведывал» общим имуществом. Модель образования проста: основа глагола (завед-) и типичный для русских фамилий суффикс -ий, который часто оформлял прозвища в притяжательные фамилии (ср. Божий, Поповий, хотя в данном случае суффикс, скорее, трансформировал прозвище в фамилию по модели «чей?»).

Интересно, что фамилия могла возникнуть и в среде духовенства. Семинаристам нередко давали «говорящие» фамилии, образованные от значимых понятий. «Заведий» в этом контексте могло означать «заведующий», «управитель» — возможно, как намёк на будущую должность в церковной иерархии или как характеристику ученика. Однако более вероятно бытовое, крестьянское или купеческое происхождение: фамилии на -ий в этой среде встречаются реже, чем на -ов/-ев, но не являются исключением (например, Бурмистрий, Благий).

Географически фамилия не привязана к одной области. Встречается в центральных регионах России, на Урале и в Сибири, куда её могли занести переселенцы. Поскольку фамилия редкая, её носители, скорее всего, происходят из одного корня, а не из нескольких независимых очагов. Спорных версий у фамилии немного: иногда её пытаются связать с украинским или белорусским «заведа» (знаток, свидетель), но это менее убедительно, так как форма на -ий в этих языках для фамилий нехарактерна.

Если коротко: предки человека с фамилией Заведий, вероятнее всего, были людьми, которые чем-то управляли или распоряжались — от хозяйства до целой артели. Фамилия — прямой намёк на социальную роль, а не на внешность или место жительства.