Фамилия Заверейко — одна из тех, где с первого взгляда понятно, откуда ноги растут, но есть нюанс. Её основа — украинское или белорусское прозвище Завера, Заверей. В этих языках «завіра» означает вруна, обманщика, того, кто «завирается» — говорит неправду. Корень тот же, что в русском «врать», но с приставкой за-: «завраться» значит увлечься враньём, запутаться в собственных выдумках. Прозвище могли дать человеку не столько злостному лжецу, сколько болтуну, фантазёру или тому, кто любил приукрашивать.

Суффикс -ейк-о указывает на уменьшительно-ласкательную форму, которая в украинской традиции часто становилась основой для фамилии. Заверейко — это буквально «маленький Завера» или «сын Заверы». Такая модель образования (прозвище + -ейко) очень характерна для украинских фамилий, особенно с территории Правобережной Украины, где были сильны польские влияния в словообразовании. В польском суффикс -ejko тоже встречается, так что фамилия могла закрепиться на землях современной Западной Украины или Беларуси.

Есть и менее очевидная версия: фамилия могла произойти от диалектного слова «завера» в значении «уверение, клятва» или даже «залог, поручительство». В этом случае прозвище Завера давали человеку надёжному, который ручался за других, — полная противоположность обманщику. Но в ономастике чаще ссылаются на глагол «завирати» как на более естественный источник для прозвища, потому что отрицательные или ироничные прозвища в народе приживались легче.

Географически фамилия Заверейко нечастая, но встречается в основном в украинских областях — Черкасской, Киевской, Полтавской, а также на юге Беларуси. В России она редкая и, скорее всего, появилась в результате миграций XIX–XX веков. Социальный состав носителей был пёстрым: среди казацкой старшины таких фамилий почти нет, а вот среди крестьян и мещан — вполне обычное дело.

Что касается ударения, в украинском языке оно падает на второй слог: Завере́йко. В русском языке часто смещается на третий: Заверейко́, хотя строгого правила нет — носители произносят по-разному.