Фамилия Заверей — редкий случай, когда основа, скорее всего, не имеет отношения к глаголу «заверить» (удостоверить подписью) или «заверять» (уверять). Словообразовательная модель здесь совсем другая, и разобрать её помогает география фамилии.

Фамилия явно западнорусского или украинско-белорусского происхождения. В её основе лежит не славянский корень «вер», а заимствованное из польского или украинского слово «завіра» (zawiera) — «завируха, метель, вьюга». В говорах так называли не только непогоду, но и суетливого, беспокойного человека, «вертопраха». Соответственно, прозвище Заверей могли дать либо тому, кто родился в сильную метель, либо человеку с беспокойным, суматошным характером.

Модель образования здесь нестандартная. Суффикс -ей в русских фамилиях встречается редко (обычно это -ев или -ов). В данном случае он выполняет роль притяжательного суффикса по типу «чей?» — Заверей, то есть «сын Завера». Само же прозвище Завер (или Завир) было сокращением от «завіра» — метелица. Форма Заверей закрепилась в именительном падеже, что характерно для фамилий украинского и белорусского происхождения, которые не склонялись по падежам как прилагательные.

Вторая, менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с именем Захар (в народной форме Заверий). В этом случае Заверей — это просторечный вариант имени, а фамилия образована от него напрямую, без прозвища. Однако первая версия с метелью и характером выглядит убедительнее, потому что объясняет редкость фамилии и её звучание, не типичное для русских календарных имён.

Фамилия очень редкая. Встречается преимущественно на западе Украины (Волынь, Ровенская область) и в приграничных районах Беларуси. В России её носители — почти всегда потомки переселенцев из этих регионов. Сословного барьера у фамилии не было: прозвище Заверей могли дать и крестьянину, и казаку, и мещанину — природа или характер не выбирали сословия.