Фамилия Завертайная — редкий пример фамилии, образованной от глагольной формы в повелительном наклонении. В основе лежит команда «завертай!» — то есть «закручивай, заворачивай, закрывай». Такие фамилии (Завертай, Завертайло, Завертайлов) в русской ономастике называют «императивными»: прозвище давалось человеку по характерному действию или привычке. Чаще всего их получали либо за манеру речи («ну, завертай, чего встал?»), либо по профессии: например, бондарь, который загибал обручи на бочках, или торговец, заворачивавший товар в кулёк.

Суффикс -ая указывает на женскую форму фамилии. В русской традиции фамилии на -ая/-ой типичны для южных регионов — Украины, Кубани, Дона, а также для бывших казачьих областей. Там прилагательные в женском роде (Завертайная, Белая, Кривая) закреплялись за женщинами, а мужчины носили форму Завертайный. Это не дворянская или священническая фамилия (у тех чаще встречались семинарские модели на -ский), а скорее крестьянская или мещанская, возникшая из бытового прозвища.

В некоторых говорах «завертай» могло означать не только действие, но и предмет: «завертай» — это закрутка, засов, а также человек, который любит «завернуть» лишнего — то есть выпить. В этом случае прозвище носило ироничный оттенок. Но более вероятна версия профессиональная: предок Завертайных мог быть бондарем, кузнецом или тем, кто на рынке заворачивал покупки в рогожу.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что Завертайная — не единственная в своём роде. Есть Вертай, Вертайлов, Завертайло, Завертай. Все они восходят к одному корню и различаются только суффиксами, которые указывали на регион или способ прозвища. Например, Завертайло — украинская форма с суффиксом -ло, а Завертайная — южнорусская или казачья.

Встречается фамилия преимущественно в Краснодарском крае, Ростовской области и на востоке Украины. В центральных и северных регионах России она редка. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были выходцами из казачьих или крестьянских семей юга.