Фамилия Заворуева — женская форма фамилии Заворуев, и её разбор стоит начать с неочевидного, но показательного суффикса. В русских фамилиях на -ев обычно скрывается основа на мягкий согласный или на -й, но здесь корень явно заканчивается на твёрдый -р. Это указывает на то, что исходная форма прозвища или имени звучала как Заворуй, а не Заворур. Суффикс -ев присоединили по старой орфографической традиции, когда после шипящих и некоторых твёрдых писали не -ов, а -ев (сравните: Грибоедов, но Заворуев). Так что фамилия по модели образования — типичная патронимическая, отчество от прозвища.

Корень «вор» здесь, скорее всего, не имеет прямого отношения к криминалу. В старых русских говорах «вор» значило «забор, ограда» (от глагола «воротить» — огораживать), а также «лгун, обманщик, колдун». Приставка «за-» в прозвище могла указывать на действие: «заворуй» — человек, который заворачивает, закрывает, либо тот, кто ворует (в современном смысле) где-то за пределами. Но есть и вторая, более конкретная версия: в диалектах северо-запада России «заворуй» означало «задира, забияка, буян». Это слово фиксируется в псковских и новгородских говорах. Если так, то предок Заворуевых получил прозвище за бойкий, неуживчивый нрав.

Географически фамилия редкая, её очаги — Псковская, Новгородская и Тверская области, что подтверждает диалектную природу основы. В центральных и южных регионах России она почти не встречается. Встречаются варианты написания через -а: Заворуева — и это единственно верная форма для женщин; мужская форма — Заворуев.

Социальный контекст: суффикс -ев в сочетании с прозвищной основой без уменьшительного суффикса (вроде -к-) указывает на то, что фамилия оформилась в крестьянской или посадской среде, не ранее XVII века. В дворянских родах такие «простые» прозвища встречаются редко. Никаких выдающихся носителей фамилии в истории не зафиксировано — это фамилия обычных людей, которые, судя по всему, жили на северо-западе Руси и славились крутым нравом.