Фамилия Заворзаева — это не самостоятельное образование, а фонетический вариант более распространённой фамилии Заварзаева. Разница в написании («о» вместо «а» под ударением) — результат «акающего» произношения, которое закрепилось на письме. В основе обеих фамилий лежит прозвище Заварзай.

Откуда взялось такое прозвище? Есть два объяснения, и оба связаны с поведением или внешностью человека. Первое — от диалектного слова «заварза», то есть «неаккуратный, небрежный». Второе — от глагола «заварзить», что означало «проказничать». Иными словами, прозвище мог получить либо неряшливый человек, либо озорник и шалун. В любом случае, оно описывало заметную черту характера или привычку.

Фамилия образовалась по стандартной для русских фамилий модели: к основе Заварзай добавили суффикс -ев-, а затем женское окончание -а. Суффикс -ев указывает на принадлежность: Заворзаева — это дочь или жена Заворзая.

В исторических документах встречаются родственные именования. С. Б. Веселовский в своих ономастических работах упоминает крестьянина Филю Заварзу (1624 год, Курмыш), Михея Заварзина (1638 год, Москва) и подьячего Василия Заварзина (1691 год). Эти записи подтверждают, что прозвище бытовало в разных слоях общества — от крестьян до приказных людей.

Таким образом, фамилия Заворзаева досталась потомкам человека, которого окружающие запомнили либо за небрежный вид, либо за склонность к проказам.