Фамилия Заверзаева — женская форма, а мужская, Заверзаев, образована от прозвища Заверзай. Основа здесь — глагол «заверзать» или «заверзнуть», который в северных и сибирских говорах означал «замерзать, коченеть от холода, промерзать насквозь». Прозвище Заверзай могли дать человеку зябкому, вечно мёрзнущему, либо тому, кто работал на морозе — например, ямщику, зимнему рыбаку или сторожу. Встречается и другая, менее вероятная версия: в некоторых диалектах «заверзать» значило «запирать, задвигать засов», и тогда прозвище могло относиться к человеку замкнутому или к тому, кто запирал ворота.

Модель образования типична для русских фамилий: к основе на -ай присоединили патронимический суффикс -ев (Заверзай → Заверзаев). Суффикс -ай в прозвищах часто указывал на деятеля по характерному действию или состоянию, как у фамилий Болтай, Ломай, Стреляй. Фамилия редкая, её географические корни, скорее всего, лежат в северных регионах — Архангельской, Вологодской областях или в Сибири, куда переселенцы принесли говор. В центральных и южных областях она почти не встречается.

Стоит обратить внимание на написание: в старых документах фамилию могли фиксировать через «о» — Заворзаев, если диалектное произношение было «оканьем». Но современная форма закрепилась с «е», что точнее передаёт исходный глагол «заверзать». Ономастические словари (например, работы Б. Унбегауна) относят такие фамилии к пласту прозвищных, образованных от глагольных основ, и подчёркивают их связь с местными говорами, а не с литературным языком.