Фамилия Заварзаев образована от прозвища Заварзай. В свою очередь это прозвище восходит либо к диалектному нарицательному «заварза», что значит «неаккуратный, небрежный человек», либо к глаголу «заварзить» - «проказничать». Таким образом, прозвище Заварзай могло указывать на особенности внешности или поведения предка: он мог не придавать большого значения своему внешнему виду или быть склонным к шалостям. Веселовского упоминаются родственные именования: Филя Заварза (крестьянин, 1624 год, Курмыш), Михей Заварзин (1638 год, Москва), Василий Заварзин (подьячий, 1691 год). Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Заварзай, со временем получил фамилию Заварзаев.