Фамилия Заварзаевы — редкий пример русской фамилии, в основе которой лежит не столько профессия или имя, сколько характеристика человека, его поведение или внешность. Это фамилия-прозвище, и её корень — слово «заварза» или глагол «заварзить».

Прозвище Заварзай, от которого пошла фамилия, имело два возможных значения. Первое — диалектное «заварза», то есть неаккуратный, небрежный человек. Второе — от глагола «заварзить», то есть проказничать, озорничать. Таким образом, предок Заварзаевых мог либо не придавать значения своему внешнему виду, либо быть склонным к шалостям и проказам. В любом случае, прозвище было ярким и цепким — именно такие основы чаще всего и закреплялись в фамилиях.

В исторических документах встречаются родственные именования. Историк С. Б. Веселовский упоминает крестьянина Филю Заварзу (1624 год, Курмыш), Михея Заварзина (1638 год, Москва) и подьячего Василия Заварзина (1691 год). Эти записи показывают, что прозвище бытовало в разных слоях общества — от крестьян до служилых людей. Фамилия Заварзаев образовалась по стандартной модели: к основе «Заварза» добавили суффикс -ев, который указывает на принадлежность («чей?» — Заварзаев, то есть сын или потомок Заварзая).

Суффикс -ев, а не -ов, подсказывает, что основа оканчивалась на мягкий или шипящий звук («з» в слове «Заварза»), что типично для русских фамилий от прозвищ. Сама фамилия — памятник живой народной речи, где диалектные слова и меткие характеристики людей становились семейными именами. О точном месте возникновения фамилии Заварзаев говорить сложно: процесс формирования фамилий был долгим, и такие прозвища могли появиться в разных регионах независимо друг от друга.