Фамилия Заврагин — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, не связано с профессией, внешностью или характером, а отсылает к конкретному бытовому действию. Она образована по стандартной русской модели с суффиксом -ин, который указывает на принадлежность: «чей?» — Заврагин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Заврага.

Само прозвище Заврага — разговорная, диалектная форма от глагола «заврать(ся)». В старых русских говорах «заврага» могли назвать человека, который часто привирал, рассказывал небылицы, путал правду с вымыслом. Слово «врать» в древнерусском языке значило не только «лгать», но и «говорить вздор», «болтать попусту». Поэтому прозвище не обязательно было резко отрицательным — им могли «наградить» весёлого рассказчика, балагура или того, кого считали фантазёром.

В отличие от фамилий на -ов/-ев, суффикс -ин чаще закреплялся за прозвищами, оканчивающимися на -а/-я. Это указывает на то, что прозвище было в ходу в повседневной речи, а не в официальных документах. Фамилия Заврагин географически тяготеет к северным и центральным областям России — там, где были распространены прозвищные формы на -ага (-яга) вроде Вертяга, Бродяга, Гуляга. В некоторых говорах «заврага» могло звучать как «завряга» или «заврега», но письменная форма закрепилась через «а».

Встречается и более прозаичная, но менее вероятная версия: от имени Завраг — якобы сокращение от крестильного имени Захарий или Захар. Однако ни в святцах, ни в древнерусских именословах такой формы нет, и лингвисты её не поддерживают. Прозвищное происхождение надёжнее.

Таким образом, предки Заврагиных — скорее всего, люди, получившие уличное прозвище за склонность к выдумкам или за весёлый нрав. В крестьянской среде такие прозвища не считались обидными: они фиксировали заметную черту, которая отличала человека среди односельчан.