Фамилия Завражская — женская форма фамилии Завражский, и её ключ — в корне «завраг». Основа восходит к слову «враг» в древнерусском значении «овраг, крутой обрыв, лощина». Человек по прозвищу Завраг или Завражный — тот, кто жил за оврагом, по ту сторону глубокого оврага. Такие прозвища давали по месту жительства: селение или усадьба могли стоять за естественной преградой, и соседи легко опознавали хозяина по этому признаку.

Суффикс «-ск-» указывает на типичную модель образования фамилий от географических названий. В русской ономастике фамилии на «-ский/-ская» часто получали дворяне, помещики или выходцы из сёл и городов, носивших соответствующее имя: Завражье, Завражная слобода и так далее. В центральной России и Поволжье таких топонимов немало — например, деревни Завражье до сих пор встречаются в Костромской, Нижегородской и Вологодской областях. Поэтому носительница фамилии Завражская, скорее всего, происходит из местности, где был овраг, и её предки либо владели землёй в таком урочище, либо просто жили в селе с названием Завражье.

В отличие от фамилий на «-ов/-ев» или «-ин», которые образуются от личных имён или прозвищ напрямую, фамилия Завражский/Завражская — типично топонимическая. Она не описывает характер или профессию предка, а привязывает его к конкретному ландшафтному объекту. Это роднит её с фамилиями Загорский, Заозёрский, Запольский, где приставка «за-» и корень указывают на положение относительно чего-то.

Встречается фамилия преимущественно в северных и центральных регионах России, реже — на юге. В дореволюционных документах её могли записывать с одним «с» (Завражская), но в современном написании закрепился двойной согласный, хотя вариативность в старых метрических книгах возможна. Сословная принадлежность носителей могла быть разной: от крестьян, живших вблизи оврагов, до мелкопоместных дворян, чьи усадьбы стояли в Завражье. Без конкретных генеалогических записей сказать точнее нельзя.