Фамилия Завражский — один из тех случаев, когда географическое прозвище застыло в суффиксе и стало родовым именем. Основа здесь прозрачна: «за врагом». В древнерусском языке «враг» (или «ворог») означало овраг, глубокий лог, крутой обрыв. Соответственно, Завражский — это человек, который жил «за оврагом», то есть по ту сторону естественной преграды. Такие прозвища давали крестьянам, чьи дома или наделы находились за заметным оврагом, отделявшим их от основной деревни.

Суффикс -ск- в этой фамилии — не случайность. В отличие от массовых -ов/-ев, он указывает на более позднее оформление, часто на дворянское или шляхетское происхождение. Однако для фамилии Завражский это не обязательно означает благородное сословие: в центральной России и Поволжье суффикс -ский мог присваиваться и крестьянам, если прозвище было образовано от названия урочища или деревни. Например, если предок происходил из села Завражье — а такие топонимы есть в Костромской, Нижегородской и Вологодской областях, — то фамилия просто указывала на выходца оттуда.

Встречается и менее очевидная версия: связь с диалектным словом «завражный» — упрямый, своенравный человек, живущий «за врагом» в переносном смысле, то есть отчуждённо от общины. Но эта гипотеза слабее, так как фамилии на -ский редко образуются от качественных прилагательных, а почти всегда — от географических названий.

С точки зрения словообразования, модель «за + существительное + -ский» типична для русских фамилий, фиксирующих положение в ландшафте (ср. Заозёрский, Загорский, Запольский). В данном случае «враг» — не враг-человек, а именно овраг, что подтверждается и старыми написаниями: в документах XVII века встречаются крестьяне «Завражские» с указанием места жительства у оврага.

Сейчас фамилия редкая, встречается в основном в центральных регионах России и, по некоторым данным, в Беларуси — что может говорить о миграции носителей из северных и поволжских земель. Точной статистики по сословной принадлежности нет, но большинство Завражских, судя по архивным записям XIX века, были государственными крестьянами, а не дворянами.