Фамилия Заяцкая образована от прозвища или нецерковного имени Заяц. Сразу оговоримся: речь не о трусливом характере. В древнерусской традиции прозвища от названий животных давали за внешнее сходство (быстрота, длинные зубы, косоглазие), за привычку или за промысел — например, удачливому охотнику на зайцев. Прямого отношения к фамилии Заяцкий, Зайцев или Заяц она не имеет, хотя корень один.

Ключевая особенность — суффикс -ск-, указывающий на происхождение от географического названия или на принадлежность к местности. То есть Заяцкая — это не «дочь Зайца», а скорее «та, что из местности Заяцкое» или «из рода Заяцких». Чаще всего такие фамилии на -ский/-цкий получали дворяне по названию своих поместий, а также выходцы из сёл и деревень с соответствующим именованием. В польской и украинской традиции (откуда многие фамилии на -ский пришли в русскую среду) это могла быть фамилия шляхтича, владевшего хутором Заяц или Заячье.

Вторая, менее вероятная версия — что Заяцкая — это матроним, то есть фамилия по матери, если её звали Зая (уменьшительное от Захария или Зарина). Но суффикс -ск- тут нехарактерен для матронимов, поэтому версия с прозвищем и местностью выглядит убедительнее.

Фамилия редкая, встречается преимущественно в западных регионах бывшей Российской империи — в Беларуси, на Украине, в Смоленской и Псковской областях. Встречается и в форме Заяцкий (мужской вариант). В крестьянской среде такие фамилии на -ский могли появиться позже, в XIX веке, при переписях: священник или писарь «облагородил» простое прозвище Заяц, приписав окончание, характерное для дворянских родов.

Однокоренные фамилии — Заяц, Зайцев, Зайченко, Зайчук. Но Заяцкая стоит особняком: она не говорит о множестве зайцев в роду, а скорее указывает на конкретное место, откуда пошёл род. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать не просто «зайцев», а деревню или урочище с названием вроде Заячье, Зайцы, Заяцкое.