Фамилия Здражко звучит нехарактерно для русского уха, и это подсказка: её происхождение, скорее всего, не великорусское. В ней нет типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский), зато есть конечное -ко, которое выдает западно- или южнославянские корни. Такое окончание — верный признак украинской, белорусской или польской ономастики, где суффикс -ко выполнял уменьшительную или патронимическую функцию: от имени или прозвища делали семейное прозвание.

Основа «Здраж-» не имеет прямого значения в современном русском языке. Логичнее всего искать её в славянских языках, где есть слово «здрага» или «здрога» — в польском и белорусском это «дрожь», «озноб», «сотрясение». Человек мог получить прозвище Здражка за то, что его легко пробирала дрожь, или, наоборот, за резкий, «дрожащий» голос и манеру поведения. Вторая версия — от глагола «здрогнуць» (вздрогнуть) — тогда прозвище могло закрепиться за пугливым или нервным человеком.

Менее вероятен, но возможен вариант, что в основе лежит не славянское, а германское имя собственное, например, сокращение от Здрагомир или Здрагослав, но такие имена встречаются в основном у южных славян (сербов, хорватов), где фамилии на -ко тоже распространены. Однако для Беларуси или Западной Украины, где фамилия Здражко встречается чаще, это скорее исключение.

Фамилия редкая и не попала в массовые справочники русских фамилий, таких как словарь Унбегауна. В современных базах данных она фиксируется в основном на территории Гродненской и Брестской областей Беларуси, а также в приграничных районах Польши. Это указывает на ареал, где смешивались белорусские и польские говоры. Носители фамилии, вероятно, происходят из крестьянской или мещанской среды — фамилии на -ко в этих краях часто давали простым людям, без привязки к дворянству.

Таким образом, Здражко — это прозвищная фамилия, образованная от слова, связанного с дрожью или трепетом. Предок её носителя, скорее всего, жил на западе современной Беларуси и получил уличное прозвание по своей заметной особенности — физической или поведенческой.