Фамилия Жарких образована от прозвища Жаркий. В основе лежит слово «жар» — и тут сразу два возможных значения. Первое — внутренний жар: рвение, ретивость, страстный порыв к чему-либо. Такое прозвище могли дать человеку горячему, увлечённому, несдержанному в стремлениях. Второе значение — внешний, цветовой: в некоторых русских говорах «жарким» называли огненный, рудо-желтый, красно-желтый, оранжевый оттенок. Скорее всего, прозвище Жаркий получал рыжий человек — яркий, заметный, с волосами цвета пламени.

Фамилия стоит в форме родительного падежа множественного числа с окончанием -их. Это типичная модель для северных и северо-восточных русских земель (Архангельская, Вологодская, Вятская губернии, а также Сибирь). Фамилии на -их, -ых — одни из самых древних в русской ономастике: они обозначали принадлежность к целому роду, семье. Жарких — буквально «из дома Жарких», то есть потомок того самого Жаркого. Такая форма не склоняется и крепко держит память о родоначальнике.

Сравните с однокоренными фамилиями: Жарков, Жаров, Жарковский. У всех общий корень «жар», но разные суффиксы указывают на разные регионы и эпохи образования. Жарких — форма более архаичная, редкая, сохранившаяся именно в северорусской традиции. Встречается она неравномерно: чаще всего — в Курской, Белгородской областях и на Украине, что говорит о позднем расселении носителей.

Споров вокруг происхождения фамилии почти нет. Версия с рыжим цветом волос выглядит правдоподобнее, чем с «горячим характером», — в прозвищах внешние признаки давали чаще, чем внутренние. Но оба варианта имеют право на существование, и не исключено, что в разных ветвях одного рода прозвище возникло независимо по разным причинам.