Фамилия Живаю — редкая и неочевидная. На слух она кажется незаконченной, словно кто-то записал её на слух, не разобрав окончания. На самом деле, это типичная фамилия в форме родительного падежа множественного числа, образованная с помощью суффикса -их/-ых. В русской ономастике такие фамилии (Живых, Живаго, Живаю) указывают на принадлежность к определённому роду: «из дома Живых» или «из семьи Живого». Исходное прозвище или имя — Живой.

Основа «живой» в прозвищах многозначна. В дофамильную эпоху Живым могли назвать человека подвижного, энергичного или, наоборот, выжившего после тяжёлой болезни. В некоторых говорах «живой» означало «быстрый, проворный», а в северных диалектах — «незамерзающий», «текучий» (о воде или о человеке, который «не застаивается»). Встречается и ироничное прозвище для медлительного — по принципу антифразиса, когда называли наоборот.

С точки зрения словообразования, фамилия Живаю — это застывшая форма предложного падежа: «у Живых» → «Живаю». Такие фамилии характерны для северных и центральных областей России, особенно для Архангельской, Вологодской и Вятской губерний. В этих регионах фамилии на -их/-ых не склонялись и часто записывались в местной произносительной манере, поэтому орфография могла колебаться: Живаю, Живых, Живаго.

Стоит отметить, что фамилия Живаю не встречается в массовых справочниках и не имеет известных исторических носителей. Это говорит о её локальном бытовании, возможно, в одном-двух сёлах. Если ваш предок носил такую фамилию, скорее всего, он происходил из крестьянской или мещанской среды Русского Севера. Прозвище Живой могло закрепиться за родоначальником, отличавшимся живостью характера или, напротив, получившим его в насмешку.