Прозвище Зигун, скорее всего, фонетический вариант украинского Дзигун. Основа — глагол «дзигувати», то есть «крутиться, вертеться». Отсюда и прямое значение: Вертун. Такое прозвище в украинской среде давали непоседливому, энергичному, быстрому в движениях человеку — тому, кто не сидел на месте.

Фамилия образована по распространённой восточнославянской модели: прозвище на -ун без дополнительного суффикса. Суффикс -ун в прозвищах часто указывал на деятеля, склонного к определённому действию (бегун, крикун, ворчун). Так и здесь: Зигун — тот, кто «дзигує», вертится.

Менее вероятная версия связывает фамилию с польским или немецким корнем, но она слабее: украинская основа объясняет и произношение, и бытование фамилии в западных и центральных регионах Украины, где фамилия Зигун встречается чаще всего. В России она редка и, как правило, указывает на украинские корни предков.

Фамилия недворянская, крестьянская или казацкая по происхождению — такие прозвища на -ун были типичны для простых сословий. В реестрах запорожских казаков встречаются похожие формы, что косвенно подтверждает украинскую среду возникновения.