Фамилия Зилюкина — женская форма фамилии Зилюкин, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Суффикс -ин указывает на принадлежность: в русской традиции так образовывались фамилии от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а/-я. То есть Зилюкин — буквально «сын или потомок Зилюки». Основа «Зилюк-» — это усечённая форма какого-то полного имени или прозвища.

Самая вероятная версия: основа восходит к каноническому имени Зиновий (от греческого «Зенобиос» — «живущий богоугодно»). В народной речи имя сокращали до уменьшительных форм: Зиня, Зина, а также Зилюк, Зилюха. Суффикс -юк характерен для западнорусских и украинских говоров (сравните: Иван — Иванюк, Пётр — Петрюк). В русском языке этот суффикс тоже встречается, но реже, и обычно указывает на молодое существо или уменьшительность. Таким образом, Зилюк — это ласковое или обиходное прозвище человека по имени Зиновий.

Есть и вторая, менее распространённая версия. В диалектах слово «зилюк» могло быть прозвищем, связанным с глаголом «зиять» (раскрываться, зевать) или с образом зеваки, ротозея. Однако, учитывая, что фамилия Зилюкина встречается преимущественно в центральных и поволжских регионах России (а не в южных, где активнее «зияют»), версия с именем Зиновий выглядит убедительнее.

С точки зрения сословной истории, фамилия Зилюкина не принадлежала к дворянским. Это крестьянская или мещанская фамилия, образованная по простой модели «имя + суффикс принадлежности». Интересная деталь: в некоторых переписях XIX века встречается вариант написания Зилюкин с двойным «и» — «Зиилюкин», что может быть следствием местного произношения (аканье или растянутый звук). Но это скорее исключение, а не правило.

Итог: фамилия Зилюкина означает «принадлежащая Зилюку», а Зилюк — это, скорее всего, домашнее прозвище человека по имени Зиновий. Предки носительницы фамилии жили, вероятно, в центральной России или Поволжье и были крестьянами или ремесленниками.