Фамилия Звегинцевы — один из тех случаев, когда написание подсказывает, как произносили слово предки. Если вы встретили вариант с «е» в первом слоге (Звегинцев, а не Звягинцев), перед вами след «екающих» говоров: в них после мягких согласных произносили «е», хотя в литературном языке закрепилось бы «я». Отсюда же и двойная форма фамилии — Звягинцевы и Звегинцевы.

В основе фамилии лежит прозвище Звяга (или Звега). В старых русских говорах у слова «звяга» было несколько значений: горлан и крикун, плаксивый ребёнок, брюзга, а также надоедливый, навязчивый человек. Скорее всего, прозвище дали либо беспокойному, капризному ребёнку, либо вечно недовольному взрослому. Суффикс «-ец» образовал от прозвища имя Звягинец (или Звегинец) — «тот, кто связан со Звягой», а уже от него по стандартной модели появилась фамилия на «-ов».

Вторая версия связывает фамилию с географическим названием. Деревня Звягино существует в Нижегородской области (Вачский район). В писцовых книгах 1628–1630 годов сказано, что в ней было 9 крестьянских дворов и 2 пустых, а принадлежала она боярину Михаилу Борисовичу Шеину — известному полководцу XVII века. Если предок Звегинцевых был выходцем из Звягина или долго там жил, фамилия могла образоваться именно от топонима.

Историк С. Б. Веселовский упоминает однокоренные фамилии и прозвища в документах XVI века: князь Семён Васильевич Звяга Ростовский (боярин, 1550 год), Охлопко и Будиха Микулиничи Звягины (1568 год, Ярославль), а также Звягинцев Третьяк — царский певчий (1573 год). Эти записи показывают, что прозвище Звяга было в ходу среди разных сословий — от бояр до крестьян и служилых людей.

Фамилия Звегинцевы (Звягинцевы) — типичная русская фамилия, образованная от прозвища или названия деревни. Чередование гласных в корне не меняет её смысла, а только указывает на особенности местного говора предков.