Фамилия Зверковский имеет польско-украинское происхождение и образована по типичной для шляхты модели. В основе лежит корень «звер-», связанный со зверем, диким животным. Скорее всего, фамилия происходит от прозвища Зверь — так могли назвать человека свирепого, сильного или, напротив, молчаливого и диковатого нрава. Суффикс «-овский» (в польской огласовке -owski) указывает на принадлежность к месту или роду, то есть Зверковский — это буквально «сын Зверя» или «выходец из местности, названной по этому прозвищу». Такая модель — одна из самых распространённых среди польской и западнорусской знати: достаточно вспомнить фамилии вроде Ковалевский или Вишневецкий.

Вероятно, предок носителя фамилии владел землёй или жил в населённом пункте, который назывался Зверково, Зверков или Зверковичи. Такие топонимы встречаются в Польше, Беларуси и на Западной Украине. Например, деревня Зверково есть в Львовской области, а Зверковичи — в Брестской. В польских гербовниках фамилия Зверковский не числится среди родов, имевших герб, но это не говорит о её незнатности: многие шляхетские семьи просто не попали в официальные реестры. С другой стороны, на востоке, в русских землях, суффикс «-ский» тоже был у дворян, но там он часто указывал на поместье, а не на прозвище.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с именем Зверика или Зверко, которое было уменьшительной формой от Зверь. В древнерусских грамотах встречаются личные имена Зверь и Зверек, но они были редки. Если принять эту гипотезу, то фамилия Зверковский могла образоваться от отчества: Зверко → Зверков → Зверковский, то есть «внук Зверка».

Сегодня фамилия встречается в России, Украине, Беларуси и Польше. В России она редкая, чаще попадается в западных областях — Смоленской, Брянской, Псковской, где исторически было сильное польское влияние. Поскольку фамилия не массовая, её носители, скорее всего, происходят из одного или нескольких родственных родов, разошедшихся по разным губерниям.