Фамилия Звягин — одна из тех, что прямо указывает на характер или манеру поведения предка. В её основе лежит старинное русское прозвище Звяга. В разных говорах это слово означало примерно одно и то же: «горлан, крикун», «брюзга, сварливый человек», а иногда — «плаксивый, капризный ребёнок». Иными словами, Звягой называли того, кто постоянно издавал резкие, звенящие звуки — от скандального крика до нытья. Впрочем, есть версия, что прозвище могло относиться и к человеку деятельному, громкоголосому, без отрицательного оттенка: такое имя давали активному, энергичному мужчине.

Менее вероятно, что фамилия связана с топонимом — деревней Звягино. Такие названия встречаются, но в случае со Звягиными прозвищная версия подкрепляется ранними письменными источниками. В «Ономастиконе» С. Б. Веселовского зафиксированы сразу несколько ранних носителей: князь Семён Васильевич Звяга Ростовский (боярин, 1550 год), Охлопко и Будиха Микулиничи Звягины (1568 год, Ярославль), а также Третьяк Звягинцев (царский певчий, 1573 год). Обратите внимание на форму «Звягинцев»: она образована с помощью патронимического суффикса -ев, что указывает на «сына Звяги», тогда как сама фамилия Звягин использует более простую модель с суффиксом -ин, типичную для русских фамилий от основ на -а/-я.

Судя по географии упоминаний в Книгах памяти, к XIX — началу XX века Звягины были рассеяны по разным губерниям. В Ставропольском крае записан Василий Александрович Звягин (1882 г. р., Ессентуки), в Курской области — Василий Андреевич Звягин (1908 г. р., село Белица), в Пермской области — Василий Васильевич Звягин (1886 г. р., деревня Зуево Кунгурского района). Разброс регионов говорит о том, что фамилия не закрепилась за одной местностью, а возникала независимо в разных частях страны.

Среди известных носителей — хоккеист Сергей Евгеньевич Звягин. Но в целом фамилия не слишком распространена и сохранила связь с исходным прозвищем: её звучание до сих пор передаёт ту самую «звягу» — звонкий, резкий, неспокойный характер.