Фамилия Звягинская — вариант на -ский, который указывает на географическое происхождение или принадлежность к поместью. В отличие от простых патронимических фамилий на -ов и -ин, такие фамилии чаще носили дворяне, духовенство или выходцы из Западной Руси (современные Беларусь и Украина), где топонимические фамилии на -ский были особенно распространены. В основе лежит название места — Звягино, Звягин или Звягинск. Таких деревень и хуторов в России и Беларуси несколько, и все они восходят к прозвищу или имени Звяга.

Корень «звяг-» — древнерусское слово, означавшее «крик», «шум», «ссора». В говорах «звяга» — это крикун, сварливый человек, а в некоторых регионах — просто болтун или тот, кто говорит громко и резко. Первым носителем прозвища Звяга мог быть человек с неспокойным характером. Слово фиксируется в актах XVI–XVII веков: в писцовых книгах упоминаются крестьяне и посадские люди с таким прозвищем. Позже оно превратилось в фамилию Звягин, а от неё уже образовалась Звягинская — как вариант помещичьей фамилии по названию деревни Звягино, где жили крестьяне Звягины.

Форма Звягинская — женская, но в современном употреблении она чаще всего закреплена за женщинами, тогда как мужской вариант — Звягинский. В дворянских родословных книгах фамилия встречается редко: в основном это однодворцы и мещане южных губерний Российской империи. По данным переписей XIX века, наибольшая концентрация носителей — в Курской и Воронежской губерниях, а также на Слобожанщине, где фамилии на -ский нередко давали переселенцам из Речи Посполитой.

Словообразовательная модель проста: топоним Звягино (от прозвища Звяга) плюс суффикс принадлежности -ск-, окончание -ая. Это типичный «княжеский» суффикс, но в народной среде он часто указывал на то, что предки были выходцами из конкретного села. Однокоренные фамилии — Звягин, Звягинцев, Звяга — распространены шире, но Звягинская сохраняет оттенок более позднего или книжного происхождения.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из крестьян или мещан, живших в деревне с названием Звягино на юге России или в Беларуси. Прозвище родоначальника звучало нелестно, но со временем утратило негативный оттенок и стало просто родовым знаком.