Фамилия Зяблийкий — редкий случай, когда написание прямо указывает на ошибку или сознательное искажение. В академических словарях русских фамилий (Б. Унбегаун, В. Никонов) зафиксирована форма Зяблицкий, а вариант с двумя «и» подряд — «Зяблийкий» — скорее всего, результат описки в паспортном столе или диалектного произношения. Поэтому разбирать стоит именно исходную фамилию Зяблицкий.

В основе лежит прозвище Зяблик — от названия птицы семейства вьюрковых. Прозвища по птицам были распространены на Руси: так могли назвать щеголеватого, пестро одетого человека (зяблик — одна из самых ярких певчих птиц средней полосы), либо обладателя звонкого, «переливчатого» голоса. Реже — человека, который зябнет, мёрзнет, но эта версия слабее: слово «зяблик» не связано напрямую с глаголом «зябнуть», а происходит от общеславянского корня со значением «петь, издавать звуки».

Суффикс -цк- указывает на географическую или сословную модель образования. Фамилии на -цкий в XVI–XVII веках чаще всего получали дворяне по названию своих поместий (Зяблицкое — гипотетическое село или усадьба), либо выходцы из западнорусских земель (под влиянием польской традиции). Однако для крестьян и мещан суффикс -цкий мог означать просто «сын Зяблика» или «принадлежащий Зяблику» — в этом случае фамилия родственна более массовым Зябликовым.

Географически фамилия Зяблицкий (и её искажённые формы) встречается в основном на западе России, в Беларуси и на Украине. В дореволюционных метрических книгах Витебской, Могилёвской и Киевской губерний попадаются Зяблицкие — чаще среди мещан и однодворцев. Вариант «Зяблийкий» мог закрепиться из-за мягкого произношения в южнорусских говорах, где окончание -цкий звучит как -йкий или -икий.

Если ваша фамилия именно Зяблийкий, то её исторический корень — птичье прозвище, а необычное написание — либо местная диалектная черта, либо случайная ошибка при записи, которая со временем стала официальной.