Фамилия Абашенко звучит на украинский лад, и это не случайно. Суффикс -енко — один из самых распространённых в украинской ономастике, он указывает на происхождение по отцу («чей?») и часто переводится как «сын такого-то» или «маленький, молодой». Соответственно, Абашенко — это «сын Абаша».

Корень Абаш- — производная форма от личного имени. Скорее всего, это уменьшительное от канонического имени Абакум (церковное Аввакум, в переводе с древнееврейского — «объятие», «обнимающий»). В народной речи имя нередко сокращалось до Абаш, как, например, Иваш от Иван или Тимош от Тимофей. По другой, менее вероятной версии, в основе может лежать тюркское прозвище, означающее «дед» или «старейшина» (ср. «аба» в некоторых тюркских языках), но для украинской фамилии первая версия выглядит убедительнее.

Фамилия не относится к аристократическим — её не носили князья или бояре. В сословном обществе такие фамилии закреплялись за крестьянами и казаками. Если предки вашего Абашенко были выходцами из Левобережной Украины или Слобожанщины, они могли быть потомками реестровых казаков или вольных хлеборобов. Встречаются разные написания — Абашенко, Абащенко, Абаш — это варианты одной фамилии, возникшие из-за местных говоров и ошибок писарей.

Итог простой: Абашенко — украинская фамилия, образованная от имени Абаш (производного от Аввакум), с типичным патронимическим суффиксом -енко. Предок был, скорее всего, крестьянином или казаком, а его имя указывало на то, что он — сын Абаша.