Фамилия Абашенко образована по типичной украинской модели с суффиксом -енко. В украинской ономастике этот суффикс — один из самых распространённых: он указывает на происхождение по отцу и отвечает на вопрос «чей?», то есть буквально переводится как «сын такого-то» или «маленький, молодой». Поэтому Абашенко — это «сын Абаша».

Корень Абаш- — это уменьшительная или народная форма личного имени. Скорее всего, перед нами производное от канонического имени Абакум (церковная форма — Аввакум, что в переводе с древнееврейского означает «объятие», «обнимающий»). В живой речи имя нередко сокращалось до Абаш — подобно тому, как Иван превращался в Иваша, а Тимофей в Тимоша. Существует и другая, менее вероятная версия: в основе может лежать тюркское прозвище со значением «дед» или «старейшина» (ср. «аба» в некоторых тюркских языках). Но для украинской фамилии первая версия выглядит убедительнее — она объясняет и славянскую словообразовательную модель, и характерный суффикс.

Фамилия не принадлежала к аристократическим: её не носили князья или бояре. В сословном обществе такие фамилии закреплялись за крестьянами и казаками. Если ваши предки были выходцами с Левобережной Украины или Слобожанщины, они могли оказаться потомками реестровых казаков или вольных хлеборобов. Встречаются разные написания — Абашенко, Абащенко, Абаш — это варианты одной фамилии, возникшие из-за местных говоров и ошибок писарей.

Итог простой: Абашенко — украинская фамилия, образованная от имени Абаш (производного от Аввакум) с типичным патронимическим суффиксом -енко. Предок был, скорее всего, крестьянином или казаком, а его имя прямо указывало, что он — сын Абаша.