Фамилия Аболиня звучит нехарактерно для русской среды — и это подсказка, с которой стоит начать. Её основа и окончание выдают латышское происхождение. В латышском языке фамилии женщин часто имеют окончание -а, а мужские варианты оканчиваются на -с. Аболиня — это женская форма; мужская будет Аболиньш (или, в старой записи, Аболинь). Такая пара типична для латышской ономастики: мужчина носит фамилию с основой на -s, женщина — на -a. Если вы встретили мужчину с фамилией Аболиня, скорее всего, это ошибка паспортиста: в советских документах женский вариант часто записывали для всех, не разбираясь в латышской грамматике.

Корень фамилии — латышское слово ābols, то есть «яблоко». Суффикс -iņš (в женском роде -iņa) уменьшительный, как русское -ик или -ечк. Таким образом, Аболиня буквально означает «маленькое яблочко» или «яблонька». Чаще всего такие фамилии давали по месту жительства: предок мог жить у яблоневого сада, возле одинокой яблони или на хуторе, который назывался «Аболини» (по-латышски — «яблоневый сад»). В Латвии топонимы с корнем ābol- встречаются повсеместно, особенно в Курземе и Земгале. Для латышских крестьян, которым фамилии массово присваивали в XIX веке, привязка к названию хутора — самое надёжное объяснение.

Вторая версия, менее вероятная, — прозвище. Яблоко в народной культуре могло быть символом румяного, круглолицего человека или, наоборот, насмешливым прозвищем для того, кто торговал яблоками. Но для Латвии географическое объяснение надёжнее: фамилии по хуторам давали целыми семьями, и прозвища тут ни при чём.

В русском контексте фамилия Аболиня встречается редко, обычно у потомков латышей, переселившихся в Россию в советское время, или у латгальцев. Написание с -я на конце — это русифицированная передача латышского окончания -a. Однокоренные фамилии в латышском — Аболс, Аболиньш, Аболкалнс (яблочная гора). В русском языке аналогов нет, хотя по смыслу близки фамилии Яблочкин, Яблонский — но они образованы от другого корня и по другой модели.