Фамилия Абсат — редкий случай, когда и основа, и суффикс указывают на нерусское происхождение, но само слово при этом могло попасть в русскую среду через тюркское посредничество. В ней нет типичных славянских суффиксов -ов, -ин или -ский, а значит, перед нами, скорее всего, фамилия, зафиксированная в той форме, в которой её записали в метрику или ревизскую сказку.

В основе лежит личное имя Абсат. Это одна из народных, обиходных форм арабского имени Абдуссаттар (или Абдуль-Саттар), что означает «раб Прощающего» (один из эпитетов Аллаха — аль-Гафур, Прощающий). В тюркских языках, особенно у татар и башкир, сложные имена с «абд» (раб) часто усекались: Абдулла превращался в Абдул, Абдурахман — в Абдрахман или Абдраш, а Абдуссаттар — в Абсат. Такая редукция (выпадение слогов «ду» и «тар») — обычное дело при бытовом произношении.

География фамилии Абсат сосредоточена в Поволжье и Приуралье, особенно в Татарстане, Башкортостане и соседних областях. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был из татарской или башкирской среды, причём не из знатного сословия (князья и мурзы обычно сохраняли полные арабские формы), а из крестьян, мещан или служилых людей «по прибору». В XIX веке такие фамилии закреплялись за теми, кто не входил в родовую аристократию, — их записывали по отцу или по прозвищу, как слышали.

С точки зрения словообразования фамилия Абсат — это чистая основа без патронимического суффикса. В русской традиции это нетипично, но для исламизированных тюркских народов, где фамилии появились поздно и часто представляли собой просто записанное имя отца, — норма. Если бы фамилия образовалась от полного имени, она звучала бы как Абдуссаттаров. Форма Абсат говорит о том, что предок, скорее всего, был не из высшего слоя, а из тех, кого при переписи спросили: «Как звать-то?» — и записали коротко, по-уличному.

Встречается также вариант Абсатов — более поздняя русификация, когда к основе добавили русский суффикс принадлежности. Но исходная, «голая» форма Абсат — более архаичная и редкая; она лучше сохраняет звучание исходного имени-прозвища.