Фамилия Абзаков — редкий случай, когда тюркское происхождение почти не вызывает споров. Её основа — слово «абзак», которое в татарском, башкирском и казахском языках означает «дядя по отцу», «старший родственник», а в переносном смысле — «почтенный муж», «аксакал». К этой основе добавили типичный русский патронимический суффикс -ов, так что буквально фамилия значит «сын Абзака». Такая модель закрепилась в среде, где русская административная система уже работала: скорее всего, у татар, башкир или мишарей, перешедших на русскую форму именования в XVII–XIX веках.

Географически фамилия тяготеет к Волго-Уральскому региону: Татарстан, Башкортостан, Оренбуржье. Встречается и у казахов, но там чаще пишут Абзаков или Абзакулы. Социальный слой носителей — в основном крестьяне и казаки, реже купцы. В дворянских родословных книгах Абзаковы не значатся, что типично для фамилий от тюркских прозвищ без приставок знатности.

Есть версия, что «абзак» восходит к арабскому «абд» (раб) через сложные имена вроде Абд-аз-Закир, но это натяжка: в фамилии нет характерного для таких конструкций «абд» и второго корня. Правдоподобнее считать, что перед нами прозвище по родству или социальному статусу — так могли назвать уважаемого человека, старейшину рода. В некоторых говорах «абзак» фиксируют как искажённое «обозник» — погонщик лошадей в обозе. Но это локальная народная этимология, не подтверждённая ономастикой: ударение в исходном слове падает на второй слог, а не на первый, как было бы при славянском корне.

Сравните с однокоренными фамилиями: Абзалов (суффикс -ов, та же основа), Абзаев (суффикс -ев, редкий вариант), Абзаковский (польско-украинское оформление, указывает на шляхетские корни). Ваша фамилия — самая массовая из этого ряда, что говорит о её бытовом, а не искусственном происхождении. Если предки были крещёными татарами или башкирами, фамилия могла закрепиться ещё в XVIII веке при массовой христианизации. Если мусульманами — позже, при советских паспортизациях 1920–1930-х годов.