Мужское имя Евфимий в переводе с греческого на русский язык означает «благожелательный». Это имя часто встречается в святцах (в истории православия известно около двадцати святых покровителей этого имени), а потому имя Евфимий, а также его краткий вариант Афима были весьма распространены на Руси. На Руси считалось, что если дать ребёнку имя святого или мученика, его жизнь будет благой и светлой, праведной, потому что существует незримая связь между именем и его святым покровителем. Скорее всего, основатель рода Афиминых был человеком из простого сословия. Таким образом, потомок человека, обладающего именем Афима, со временем получил фамилию Афимина.