Фамилия Афончиков образована от уменьшительной формы крестильного имени Афанасий. В русском языке имя Афанасий (греч. Athanasios — «бессмертный») давало множество обиходных вариантов: Афоня, Афонка, Афончик, Афонча. Фамилия Афончиков — результат присоединения патронимического суффикса -ов к основе Афончик. Суффикс -чик здесь не уменьшительно-ласкательный, а скорее разговорный, характерный для северных и северо-восточных русских говоров, где -чик мог выполнять роль фамильного форманта наравне с более распространённым -к-.

В отличие от фамилий типа Афонин или Афонькин, где суффикс -ин указывает на прямое родство (чей? — Афонин сын), Афончиков построен по модели «чей? — Афончика». Это указывает на то, что предок носителя фамилии мог быть сыном человека по прозвищу Афончик, причём прозвище могло закрепиться за самим носителем, а не за его отцом. В ономастике такие формы иногда называют «вторичными патронимами» — они фиксируют не отца, а самого человека, который уже носил уменьшительное имя.

Встречаемость фамилии Афончиков наиболее характерна для Вологодской, Архангельской областей и Костромского края, где имя Афанасий исторически было очень популярно, а суффикс -чик в бытовой речи использовался активнее, чем в центральных регионах. В писцовых книгах XVI–XVII веков можно найти упоминания крестьян Афончиковых в волостях вокруг Вологды, но единой знатной ветви фамилия не образовала — это типичная крестьянская или посадская фамилия, возникшая естественным путём.

Стоит отличать Афончикова от фамилии Афончиковский, которая могла иметь польское или украинское происхождение (от топонимов вроде Афончики). Русская версия — чисто патронимическая, без географической привязки: она прямо отвечает на вопрос «чей сын?» — сын Афончика, то есть Афанасия.