Фамилия Агафонки сразу выбивается из привычного ряда: ни типичного суффикса -ов (Агафонов), ни -ин (Агафонин). Вместо этого — окончание на -ки, которое указывает на множественное число. Это редкая и необычная форма, и её разговор нужно начинать именно с неё.

Перед нами — северорусская или сибирская модель, родственная фамилиям на -их и -ых (вроде Седых, Косых). Агафонки — это вариант того же принципа: фамилия отвечает на вопрос «чьи?» и означает «люди из семьи Агафона». В бытовой речи такое прозвище закреплялось за целым родом или домом, где все — потомки одного человека. Не уменьшительное, не ласкательное, а именно указание на коллективную принадлежность.

Основа — имя Агафон, греческое по происхождению (от «агатос» — добрый, хороший). На Руси имя было в ходу в крестьянской и купеческой среде, особенно в XVIII–XIX веках. Давали его в честь святого Агафона, папы римского, или преподобного Агафона Печерского. Значит, предок носителя фамилии звался Агафоном, а суффикс -к(а) во множественном числе указывает на его потомков, составлявших одну общину или двор.

Географически такие фамилии привязаны к Архангельской, Вологодской, Вятской губерниям и к Сибири, куда переселенцы приносили свой говор. Агафонки, скорее всего, родом оттуда. Предки были государственными или экономическими крестьянами Русского Севера, где в переписных книгах за целыми семьями закреплялись устойчивые прозвища. Отчества менялись по поколениям, а прозвище «Агафонки» могло остаться за домом или деревней.

Словообразовательно фамилия стоит в одном ряду с редкими формами вроде Ерёмки, Васьки, Мишки. В паспортной записи её иногда «подгоняли» под стандартный мужской род, записывая как Агафонков, но исходная форма на -ки сохранилась в устной традиции и в метрических книгах. Если вы встретили эту фамилию в архивах или у родственников, перед вами — живой след севернорусского говора и семейного уклада, где принадлежность к дому значила больше, чем индивидуальное имя. Носители фамилии Агафонки, скорее всего, происходят из одной или нескольких соседних деревень, где жили потомки крестьянина Агафона.