Фамилия Агапотова почти наверняка возникла из-за «съехавшей» буквы в устной речи или при записи. Перед нами искажённая форма фамилии Агапова или её редкой разновидности Агапотова (с ударением на второй слог). Основа — каноническое мужское имя Агап, которое пришло из греческого агапэ — «любовь». В святцах это имя носил раннехристианский мученик, и в России до революции оно встречалось, хотя и не было столь популярным, как Иван или Пётр.

Как получилась странная вставка «-от-»? В русской ономастике работает закономерность: суффикс -ов присоединяется к основе, оканчивающейся на согласный (Агап → Агапов). Но в некоторых говорах, особенно в северных и сибирских, окончание фамилии могли переосмыслять, добавляя лишний слог. Вариант Агапотов (а затем и женская форма Агапотова) мог возникнуть по аналогии с фамилиями вроде Карпов — Карпотов, где вставка «-от-» служила для различения двух разных семей, произошедших от одного имени. Иными словами, когда-то в одной деревне жили два Агапа, и их потомков стали звать по-разному: одних Агаповыми, других Агапотовыми.

Менее вероятная, но теоретически возможная версия — связь с диалектным словом «агапот», которого нет в литературном языке. В местных говорах так могли называть нерасторопного, мешковатого человека. Однако весомых лингвистических подтверждений у этой гипотезы нет: гораздо чаще прозвища с таким корнем не фиксируются, а имя Агап было вполне реальным.

Что касается географии, фамилия Агапотова встречается спорадически, её нет в списках массовых русских фамилий. Если ваши предки носили именно её, а не более распространённую Агапову, скорее всего, они происходят из мест, где фамилии записывали «на слух» — например, из старообрядческих поселений или отдалённых сёл Русского Севера. Там писарь мог зафиксировать прозвищный вариант, который потом закрепился в документах. Таким образом, Агапотова — не ошибка, а живая примета того, как народная речь «перекраивала» книжные имена на свой лад.