Фамилия Агурень — редкий случай, когда географическое происхождение почти наверняка перевешивает прозвищное или профессиональное. Скорее всего, перед нами не русская фамилия в классическом понимании (с суффиксами -ов, -ин, -ский), а молдавская или румынская по корню. В Молдавии и Румынии фамилии с окончанием на -ень встречаются часто: это типичный суффикс принадлежности или происхождения, указывающий на «сына такого-то» или выходца из конкретного места. Например, Кишинэу — кишинэуень (житель Кишинёва). Агурень, вероятно, образовано от топонима Агура или Агуря — названия села или урочища.

Если копать глубже, основа «агур» может восходить к румынскому слову «agur» — так называют дикий виноград, лозу, а в некоторых говорах — и кислый незрелый виноград. В таком случае Агурень — это «виноградный», «лозовый», то есть прозвище, данное человеку, жившему у виноградников или занимавшемуся их разведением. Виноделие в Молдавии — традиционное занятие, так что версия правдоподобная.

В русском контексте фамилия могла появиться после переселения молдавских крестьян на юг Российской империи (в Бессарабию, Новороссию) в XIX веке. Русские переписчики нередко записывали фамилии на слух, сохраняя иноязычное окончание -ень. Известных носителей фамилии Агурень в истории нет — это редкая, локальная фамилия, которая почти не встречается за пределами Молдавии и приграничных областей Украины. Если ваш предок носил её, скорее всего, он был крестьянином или виноградарем из молдавского села.